康托尔三分集（Cantor ternary set）是数学中一个著名的分形例子，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入。它通过不断去掉线段的中间三分之一部分，重复这个过程得到的一个分形集合。康托尔三分集具有许多显著的性质，如它是完全的、无内的、不可数的等。本文将提供多种康托尔三分集的图形实现方法，并使用Python绘制出来。

康托尔三分集的基本概念

康托尔三分集的构造过程如下：

1. 从单位区间 [0,1] 开始。
2. 去掉中间的三分之一区间 (1/3, 2/3)，剩下两个区间 [0,1/3] 和 [2/3,1]。
3. 对每个剩下的区间重复上述过程，去掉每个区间的中间三分之一。
4. 无限次重复这个过程，最终得到的点集就是康托尔三分集。

康托尔三分集具有以下性质：

• 它是一个完全的、无内的、不可数的集合。
• 它的测度为0，但它是不可数的。
• 它是自相似的，整体与局部相似。

使用Python绘制康托尔三分集的方法

方法一：使用Matplotlib的递归实现

递归是绘制康托尔三分集最直观的方法，因为其构造过程本身就是一个递归的过程。

这个方法使用Matplotlib的hlines函数绘制水平线段。递归函数cantor_set接受当前线段的起始位置x_start、结束位置x_end和y坐标y，以及当前深度depth。每次递归都会将当前线段分成三等分，去掉中间三分之一，然后递归处理左右两个区间。

用Python实现此算法，可绘制

方法二：使用Tkinter的递归实现

Tkinter是Python的标准GUI库，也可以用来绘制康托尔三分集。

这个方法使用Tkinter的Canvas组件绘制线段。递归函数cantor_set接受Canvas对象、当前线段的起始位置x0、结束位置x1和y坐标y，以及当前深度depth。每次递归都会将当前线段分成三等分，去掉中间三分之一，然后递归处理左右两个区间。

方法三：迭代实现

除了递归方法外，我们也可以使用迭代方法来绘制康托尔三分集。

这个迭代方法使用一个区间列表来表示当前的所有线段。每次迭代都会将每个区间分成三等分，去掉中间三分之一，然后将左右两个区间添加到新的列表中。最后，绘制所有剩余的区间。

方法四：使用不同颜色和样式的绘制

我们可以通过修改颜色和线型来使康托尔三分集的图形更加美观。

这个方法在递归函数中随机选择颜色和线型，使图形更加丰富多彩。

方法五：使用三维效果绘制

我们可以通过在y轴上添加偏移来创建一种三维效果。

这个方法在绘制每个线段时使用正弦函数创建一种波动效果，使图形看起来更加立体。

方法六：使用不同形状绘制

我们可以通过绘制不同形状（如矩形、三角形等）来创建更丰富的视觉效果。

这个方法使用矩形来表示每个线段，使图形看起来更加饱满。

方法七：使用不同透明度绘制

通过设置不同的透明度，可以使图形层次更加分明。

方法八：使用极坐标系绘制

我们也可以尝试在极坐标系中绘制康托尔三分集。

这个方法在极坐标系中绘制康托尔三分集，通过角度来表示线段的位置。每次递归都会将当前的角度区间分成三等分，去掉中间三分之一，然后递归处理左右两个区间。

方法九：使用3D效果绘制

我们可以通过在z轴上添加偏移来创建一种3D效果。

这个方法在3D坐标系中绘制康托尔三分集，通过z轴位置来表示层次。每次递归都会将当前的x区间分成三等分，去掉中间三分之一，然后递归处理左右两个区间，并在z轴上偏移一定距离。

方法十：使用不同粗细绘制

通过设置不同的线宽，可以使图形层次更加分明。

这个方法设置线宽与深度相关，使较深的层次线更粗，层次感更强。

总结

本文提供了多种康托尔三分集的图形实现方法，并使用Python绘制出来。这些方法包括使用Matplotlib和Tkinter的递归实现、迭代实现、使用不同颜色和样式的绘制、使用三维效果绘制等。这些方法各有特点，可以根据需要选择合适的方法来绘制康托尔三分集。

康托尔三分集作为一种经典的分形，具有丰富的数学性质和美学价值。通过不同的绘制方法，我们可以更直观地理解其构造过程和性质，也可以创造出各种美观的图形效果。

代码

Python实现代码：康托尔集合的绘制【Python】。