什么是对称?
myzbx 2025-03-07 22:11 19 浏览
编者按 液态什么结构都没有,它有最高的对称性。固态可以有各种各样不同的结构,这反映在其较低的,各种各样不同的对称性上。所以从液态到固态的转变,是一个从高对称到低对称的对称性破缺过程。我们发现几乎所有的物质态(如液态、固态、铁磁态、超导态)和它们之间的转变,都可以用这一对称性的观念来描写。物质态和对称性,这两个看来完全不相干的东西,其实却有深刻而紧密的联系。对称性是描写各种物质态的基石。今天这两篇文章从数学和物理的角度介绍了对称性。
——文小刚
作者 罗伯特·库尔曼 ( Robert J. Coolman )
翻译 高斌
校对 雨遇
在几何学中,如果一个物体经过一个变换(transformation),例如反射或者旋转,仍能和以前看起来一样,我们就称这个物体具有对称性(symmetry)。对称性是所有图案背后都会表现出的基本数学原理,它对于艺术(用于建筑、陶器、绗缝(布艺)、地毯制造)、数学(涉及几何、群论和线性代数)、生物学(有机体的形状)、化学(分子形状和晶体结构)和物理学(对称守恒量)都是非常重要的。“symmetry”一词是一个十六世纪的拉丁词语,由希腊语“syn-”(一起)和“metron”(度量)派生而来的。
对称的类型
反射类(Reflective)
一般来讲,对称通常指的是镜面对称(mirror symmetry)或称为反射对称(reflective symmetry),即一个物体可以被一条直线(二维时)或一个平面(三维时)分成彼此镜像的两半,例如等腰三角形和人脸就分别是一个二维和三维对称图形的例子。数学上来讲,一个物体表现出镜面对称性是指“在反射下保持不变”,也就是在某种特定方式下反射物体并不会改变它的外观。
Figure 1 等腰三角形和蝴蝶是具有反射对称性的例子。二维物体有一条对称线,三维物体有一个对称面,它们在反射下都是不变的。
在生物学中,反射对称性通常被称为双侧对称性(bilateral symmetry),这些例子很容易在哺乳动物、爬行动物、鸟类和鱼类中找到。
旋转类(Rotational)
生物学中另一种常见的对称形式是径向对称(radial symmetry),在花类和许多海洋生物中我们都可以发现它,例如海葵、海星和水母。在数学上,这样的物体因为“在旋转下保持不变”而被描述为能够表现出旋转对称性(rotational symmetry),它们可以通过一个点(二维时)或一个轴(三维时)旋转某些量而保持不变。
Figure 2 阴阳符号和风车是具有旋转对称性的例子。二维物体有一个对称中心,三维物体有一个对称轴,它们在旋转下是不变的。
平移类(Translational)
想象一下,如果我们把所有方向都延伸到无穷远,一个二维或三维图形“在平移下保持不变”,我们就称它具有平移对称性(translational symmetry)。所有的棋盘花纹、大多数攀爬架以及地毯和壁纸的图案都具有平移对称性。
Figure 3 壁纸的图案和攀爬架是具有平移对称性的例子,如果把所有方向都延伸到无穷远,那它们在平移下是不变的。
其他形式的对称
尽管一些例子说明物体可以具有不止一种对称性(例如六角星具有六条反射对称线和一个六重旋转不变点),但是有一些物体和图案只在两种变换同时进行的条件下保持不变。
瑕旋转(Improper Rotation) = 反射+旋转
一个带有定向边缘的五角反棱柱(pentagonal antiprism)在瑕旋转下保持不变(在下面的例子中,水平旋转36°,再沿着中心水平面面反射)。
滑移反射(Glide Reflection) = 平移+反射
如果我们延伸任意方向至无穷远,则下图中的脚印图案是滑移反射不变的(平移加反射)。
螺旋旋转(Screw Rotation) = 平移+旋转
同样的,如果我们延伸任意方向至无穷远,则下图中的一个由四面体构成的螺旋结构是螺旋旋转不变的。(平移加一个131.8°的旋转)
分类物体和图案
数学家和晶体学家们根据使物体保持不变的各种变换方式来对物体和图案的对称性进行分类。一个二维或三维物体的“点群(point group)”是指能使物体在反射和旋转(三维时,瑕旋转)变换下保持不变的所有变换方式全体。当一个物体使用一个主题图案时,我们可以很容易地确定出它的一个晶体学点群(crystallographic point group):在二维中,有10种(下图);在三维中,它们有32种。
Figure 4 二维中的十种晶体学点群
上图中的通用记号叫作Schoenflies记号,来自于德国数学家Arthur Moritz Schoenflies。
“C”代表“cyclic(循环)”。这些对象都有旋转对称性,但是没有反射对称性。下标数字代表具有几重旋转对称性,例如C2表示两重旋转对称性。所有的循环都有反向旋转的镜像。
“D”代表“dihedral(二面角)”。这些对象同时具有反射和旋转对称性。下标数字表示它有几重旋转对称性,也就同时意味着有几条反射对称线。
晶格(Lattices)
晶格是空间中点的一种重复图案,其中的物体可以被重复(更精确来讲,指平移,滑移反射或者螺旋旋转)。在一维时只有1种晶格,二维时有5种,三维时有14种。
通过二维图案(分配给它10种晶体学点群中的一种)沿一维或二维晶格重复,我们可以得到一个图案。当一个二维物体沿一维晶格重复时,我们可以得到7种饰带群(frieze group)中的一种,当沿三维晶格重复时,可以得到17种壁纸群(wallpaper group)的一种。
三维图案更为复杂,并且很少在晶体以外被发现。不同的三维点群沿着各种各样的三维晶格重复组成了230种不同的空间群。三维物体也能够沿一维或二维晶格重复,分别产生杆群(rod group)或图层群(layer group)。
分形(Fractals)
第四种变换——缩放(scaling)下的不变性也同样重要。直径保持几何增长的同心圆在缩放下保持不变。当一个物体在平移、反射、旋转和缩放的特定组合下保持不变,我们就把这种新图案称作分形。
Figure 5如果我们把上图向内和向外延伸至无穷,则科赫曲线(Koch curve)在特定的平移,旋转和缩放变换下保持不变。
原文地址:
http://m.livescience.com/51100-what-is-symmetry.html
投稿、提供新闻线索、转载授权请联系:iscientists@126.com
商务合作事宜请联系:dll2004@163.com
相关推荐
- Python教程:for循环语句(python如何用for循环)
-
循环(loop)是生活中常见的现象,如每天的日升日落,斗转星移,都是循环,编程语言的出现就是为了解决现实中的问题,所以也少不了要循环。for循环在这里我用一个例子来具体解析一下for循环:>...
- java里的for循环(java语言for循环)
-
从字节码角度再来分析一下,java里的for循环是怎么做到的。既然是字节码角度,那一定是在操作栈和局部变量表来实现的。先看一下源代码:很简单的一个代码,循环10次,每次循环打印输出i。我们再使用jav...
- VUE循环语句的使用(v-for)(vue的foreach循环)
-
对数组进行遍历使用v-for进行遍历时注意参数格式,以“siteinsites”的格式填入参数,sites是被遍历的数据,site是遍历出的值。<template><div...
- Python | for 循环(pythonfor循环语句用法)
-
前言在代码中有的时候我们需要程序不断地重复执行某一种操作例如我们需要不停的判断某一列表中存放的数据是否大于0,这个时候就需要使用循环控制语句这里会讲解for循环python有两种循环语句,一个...
- continue、break 和 return 的区别是什么?
-
continue、break和return的区别是什么?在循环结构中,当循环条件不满足或者循环次数达到要求时,循环会正常结束。但是,有时候可能需要在循环的过程中,当发生了某种条件之后,提前终止...
- Java里的for循环怎么用(java实现for循环)
-
前言在前面的文章中,壹哥给大家讲解了顺序结构、分支结构,接下来我们就来学习Java里的循环结构。Java里的循环结构,可以通过while、do-while、for、foreach等方式进行实现,今天壹...
- VBA代码实例之For循环嵌套的魅力(vb中for循环嵌套执行顺序)
-
第一种方法是用active插件复制这段代码:DimxAsIntegerDimyAsIntegerForx=3To8'行循环Fory=2To6'列循环...
- 循环的控制语句break和continue(常用的循环控制语句)
-
循环的控制语句break和continue是在编程中用于控制循环行为的关键字。break语句:当程序执行到break语句时,会立即终止当前所在的循环,并跳出循环体,继续执行循环后面的代码。break通...
- Python循环秘技!90%新手不知道的7个for用法,第3个绝了!
-
实习生用错for循环,1天删光数据库!这7个保命技巧,现在看还来得及!一、新手必死的3个坑(血泪警告)坑1:循环中修改列表#作死写法(删不干净)names=["张三",&...
- js中的for循环(js中for循环有几种方式)
-
(for循环):for循环-语法:for(①初始化表达式;②条件表达式;④更新表达式){③语句...}-执行流程:①for执行时,会首先执行初始化表达式,来初始化变量②执行条件表达式判断循环是...
- 详谈for循环和while循环的区别(for 循环和while循环)
-
初九,潜龙勿用在刚开始使用python循环语句时,经常会遇到for循环和while循环的混用,不清楚该如何选择;今天就对这2个循环语句做深入的分析,让大家更好地了解这2个循环语句以方便后续学习的加深。...
- Python学习记录(22)——for-in循环的学习
-
Python学习记录(22)——for-in循环的学习大家好,上一节课我们学习了Python学习记录(21)——while循环,这节课我们进入Python学习记录(22)——for-in循环首先我们复...
- 《循环(for/while)》(循环while用法)
-
循环(for/while)循环是编程中处理重复任务的核心工具,Python提供了两种主流循环结构:for循环(遍历可迭代对象)和while循环(根据条件重复执行)。本节将系统讲解两者的语法、使用场景及...
- JavaScript基础知识21——for循环
-
哈喽,大家好,我是雷工!今天学习for循环,以下为学习笔记。1、while循环和for循环有啥不同?1.1、在实际开发中,while循环用来解决循环次数不确定时使用,当一个循环不确定会循环多少次时,推...
- 一周热门
- 最近发表
-
- Python教程:for循环语句(python如何用for循环)
- java里的for循环(java语言for循环)
- VUE循环语句的使用(v-for)(vue的foreach循环)
- Python | for 循环(pythonfor循环语句用法)
- continue、break 和 return 的区别是什么?
- Java里的for循环怎么用(java实现for循环)
- VBA代码实例之For循环嵌套的魅力(vb中for循环嵌套执行顺序)
- 循环的控制语句break和continue(常用的循环控制语句)
- Python循环秘技!90%新手不知道的7个for用法,第3个绝了!
- js中的for循环(js中for循环有几种方式)
- 标签列表
-
- HTML 简介 (30)
- HTML 响应式设计 (31)
- HTML URL 编码 (32)
- HTML Web 服务器 (31)
- HTML 表单属性 (32)
- HTML 音频 (31)
- HTML5 支持 (33)
- HTML API (36)
- HTML 总结 (32)
- HTML 全局属性 (32)
- HTML 事件 (31)
- HTML 画布 (32)
- HTTP 方法 (30)
- 键盘快捷键 (30)
- CSS 语法 (35)
- CSS 轮廓宽度 (31)
- CSS 谷歌字体 (33)
- CSS 链接 (31)
- CSS 定位 (31)
- CSS 图片库 (32)
- CSS 图像精灵 (31)
- SVG 文本 (32)
- 时钟启动 (33)
- HTML 游戏 (34)
- JS Loop For (32)