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冲激函数的理解（冲激函数的性质有哪些问题）

myzbx 2025-07-23 16:44 21 浏览

一、冲激函数是什么？

1. 通俗理解

想象一根理想化的针：

长度无限小（宽度为0）
高度无限大（强度无限）
但总面积（能量）= 1
这就是冲激函数δ(t)！

类比：用针尖瞬间触碰水面 → 产生一个无限高但宽度为0的水波纹（总水量=1滴水）

2. 数学定义

连续冲激 δ(t)： \delta(t) = \begin{cases} \infty & t=0 \\ 0 & t \neq 0 \end{cases} \quad \text{且} \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt =1
离散冲激 δ(x)（更实用！）： \delta(x) = \begin{cases} 1 & x=0 \\ 0 & x \neq 0 \end{cases} \quad \text{(图4.3c所示)}
离散冲激是实际计算中可用的（如代码中[0,0,1,0,0]）

二、取样性质（筛选性质）是什么？

1. 核心作用：精准提取特定点的值

\large \text{取样 = 用“数学镊子”夹出目标值}

连续公式（图4.3a示例）：
\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - t_0) dt = f(t_0)

f(t)：原函数（如随时间变化的温度）
δ(t-t)：时间点t的冲激针
结果：提取t时刻的值f(t)

离散公式（图4.3c示例）：
\sum_{x=-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x - x_0) = f(x_0)

图像处理实例：提取坐标(x,y)的像素值

2. 实战类比（一看就懂）

场景	冲激操作	结果
称金条重量	把δ(t)放在金条位置t	得出t处的重量f(t)
读取照片像素	把δ(x)放在像素位置x	输出该像素颜色值

例如：对照片函数f(x)在x=100处放离散冲激δ(x-100) → 得到f(100)=蓝色（假设该像素为蓝色）

三、连续冲激 vs 离散冲激（图4.3详解）

特性	连续冲激δ(t)	离散冲激δ(x)	图示参考
定义域	连续时间 t ∈ R	离散坐标 x ∈ Z	图4.3(a) vs (c)
高度	理论无限高（不可实现）	实际为1（可实现）	箭头↑ vs 柱状图
宽度	0（瞬态）	1个像素宽度
取样操作	需积分 ∫	直接求和 Σ
应用场景	理论分析（如信号系统）	编程计算（图像处理核心）

关键结论：离散冲激（图4.3c）是工程师真正在代码中使用的工具！

四、冲激串：周期性采样工具（图4.3b/d）

1. 定义

连续冲激串：间隔ΔT放置一组冲激（类似火车轨道上的等距铆钉） s_{\Delta T}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k \Delta T)
离散冲激串：每间隔Δx放一个单位冲激（如网格点阵） s_{\Delta x}(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x - k \Delta x)

2. 作用：周期性采样

连续案例：用冲激串对音乐信号采样 → 得到CD数字音频 graph LR 音乐波形 -->|× 冲激串| 数字采样点
离散案例：图像放大时用冲激串保留关键像素点

终极总结：冲激函数的工程意义

连续冲激δ(t)：理论神器（数学家的“理想探针”）
离散冲激δ(x)：工程师的实用工具，代码中可写为： import numpy as np delta = np.zeros(100) # 创建100维零数组 delta[50] = 1 # 在位置50放离散冲激（值=1） pixel_value = image * delta # 提取该位置像素
取样性质本质：
用“数学探针”精准捕获目标位置的数值（如温度计插到特定时间点）

图4.3的四张小图就是您的导航图——

(a)(b)：理解理论采样（连续世界）
(c)(d)：掌握代码实现（离散世界）

下次处理图像时，当您提取某个像素值（如image[50,100]），正是在使用离散冲激的取样性质！

JS 箭头函数

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冲激函数的理解（冲激函数的性质有哪些问题）

一、冲激函数是什么？

1. 通俗理解

2. 数学定义

二、取样性质（筛选性质）是什么？

1. 核心作用：精准提取特定点的值

2. 实战类比（一看就懂）

三、连续冲激 vs 离散冲激（图4.3详解）

四、冲激串：周期性采样工具（图4.3b/d）

1. 定义

2. 作用：周期性采样

终极总结：冲激函数的工程意义

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