纤维丛上的联络与曲率关系之二:七个联络

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纤维丛上的联络与曲率关系之一

1. 仿射联络 (Affine Connection)

定义：在光滑流形 M的切丛 TM上，一个仿射联络 是一个双线性映射：

仿射联络定义了向量场 Y沿方向 X的协变导数，即"如何将切向量沿曲线平移"。

曲率 R 和 挠率 T是其核心不变量：

无额外结构（如度量），故最一般。

第一项 XYZ：沿 X方向移动后再沿 Y方向移动 Z。

第二项 YXZ：沿 Y方向移动后再沿 X方向移动 Z。

第三项 [X,Y]Z：沿李括号 [X,Y]方向修正 Z（消除坐标网格非交换性）。

R≠0 表明：向量 Z沿闭合回路平移后与原向量不同，标志空间弯曲。

Rn 的标准联络：XY=(XY^1,…,XY)（方向导数），曲率 R=0，挠率 T=0。

非完整系下的联络：如刚体旋转的 Euler 方程中，挠率 T≠0 反映旋转非交换性。

2. Levi-Civita 联络 (Levi-Civita Connection)

定义：

给定黎曼流形 (M,g)，Levi-Civita 联络是唯一满足以下条件的仿射联络：

局部坐标公式（Christoffel 符号）：

由黎曼度量 g 唯一确定，是广义相对论的几何基础。

曲率 R 描述流形弯曲程度（引力场），挠率恒为零。

曲率公式：

曲率不变量：

截面曲率（二维平面弯曲程度）：

几何意义：

K>0 时测地线收敛（球面）； K<0时测地线发散（双曲面）。

物理意义：

爱因斯坦场方程：

例子：

3. 嘉当联络 (Cartan Connection)

定义：设 (P,M,G) 是主丛，HG 是闭子群。嘉当联络是 g-值 1-形式 ω∈Ω^1(P,g) 满足：

曲率公式：

分解曲率：

挠率： T=hor(Ω)（水平部分）

曲率： curv=ver(Ω)（垂直部分）

推广仿射联络到齐性空间 G/H，描述"仿射标架"的移动。

几何意义：

Ω 衡量主丛上平行移动的不可积性（即路径依赖性）。

挠率 T反映平移非闭合性（如仿射几何中扭变的标架）。

物理意义：

在规范引力理论中，Ω 统一引力与规范场（如 Poincaré 群嘉当联络描述引力与挠率）。

例子：

闵可夫斯基时空：若 ω为平坦联络，则 Ω=0（无曲率无挠率）

仿射几何：当 G=Aff(n), H=GL(n) 时，嘉当联络还原为仿射联络。

共形几何： G=SO(n+1,1), H=稳定子，描述共形结构。

4. 旋转联络 (Spin Connection)

定义：

给定黎曼流形 (M,g)的旋量丛 S，旋转联络 ^S是满足以下条件的联络：

局部公式：

将 Levi-Civita 联络提升到旋量空间，用于描述费米子（如电子）在弯曲时空的运动。

曲率公式（通过标架场 eμa与黎曼曲率关联）：

几何意义：

曲率 Rμνab描述旋量平行移动的路径依赖性（与 Levi-Civita 曲率等价）。

物理意义：

在弯曲时空中，费米子（如电子）的狄拉克方程含曲率项：

曲率项导致引力效应与自旋耦合。

例子：

Dirac 场在弯曲时空：广义相对论中，电子波函数 ψ的协变导数由旋转联络定义：

5. 射影联络 (Projective Connection)

定义：射影联络是仿射联络的等价类 []，其中 ~′ 当且仅当：

曲率不变量：

Weyl 射影曲率：

描述未参数化测地线的几何（路径的射影等价类）。

在二维下等价于 Schwarzian 导数。

几何意义：

W=0时空间为射影平坦（如 RP中的直线测地线）。

射影曲率描述未参数化测地线的弯曲（与仿射参数选择无关）。

物理意义：

在共形引力理论中，W 是自由场的动力学变量。

例子：

球面 S： W≠0，但测地线（大圆）在射影模型下为“直线”。

射影平面 RP：测地线是直线，射影联络与平坦仿射联络等价。

6. 埃尔米特联络 (Hermitian Connection)

定义：

在复流形 (M,J)的埃尔米特丛 (E,h)上，埃尔米特联络 满足：

若流形是 K"ahler 流形（dω=0），则存在唯一无挠埃尔米特联络（即 Levi-Civita 联络的复化）。

曲率公式（全纯截面的曲率形式）：

几何意义：

F是 (1,1)-形式，度量丛的局部非平凡性（如陈类 c1(F)）。

特殊情形：

K"ahler 流形：曲率与黎曼曲率一致（因 为 Levi-Civita 联络）。

例子：

复线丛（陈类）：

复射影空间 CP：

Fubini-Study 度量诱导的埃尔米特联络，Christoffel 符号：

7. 杨-米尔斯联络 (Yang-Mills Connection)

定义：

在主丛 P→M（结构群 G）上，联络 A（取值 g) 的曲率为：

几何意义：

FA衡量主丛上规范变换的不可交换性（非阿贝尔群的核心特征）。

解的分类：瞬子（FA=±*FA）、磁单极子等。

物理意义：

标准模型中：

U(1) 群： FA=dA（电磁场强 Fμν)，方程退化为 Maxwell 方程。

SU(3) 群： FA描述胶子场强，方程给出 QCD 动力学。

例子：

小结:

所有曲率均刻画 “平移操作的不可交换性”：

黎曼框架：由路径依赖性 (XY-YX) 定义。

纤维丛框架：由联络形式的外微分与李括号 (dω+[ω∧ω])定义。
物理上，曲率是 “力的几何根源”：

引力（黎曼曲率）、电磁力（U(1) 曲率）、强弱力（非阿贝尔曲率）均由规范联络的曲率生成。

仿射联络 是最基础结构，无度量要求。

Levi-Civita 和 埃尔米特 联络由度量唯一确定（无挠+相容）。

嘉当联络 推广到齐性空间，旋转联络 是旋量场的 Levi-Civita 提升。

杨-米尔斯联络 是规范理论的动力学解，非由几何结构唯一确定。

附:高斯博内公式