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有趣的时钟问题——钟面上的追及和“相遇”问题

myzbx 2025-05-10 23:48 40 浏览

在有趣的时钟问题-时针和分针的夹角一文中，我们已经学会了如何把时针和分针的运动当成追及问题来处理。今天我们研究三方面的内容：

用追及问题的思路处理时针分针重合问题

用追及问题的思路处理已知夹角求时间的问题

时针和分针的“相遇”问题

  1. 时针和分针的重合问题

例1：从7点开始，7点（）分时，分针与时针第一次重合？

如上图一所示，我们画出7点整时刻的示意图，此时分针落后时针7x30=210°，按照追及问题的公式：

追及路程=速度差x追及时间

设经过a分钟后分针追上了时针，那么 （6-0.5） a=210 可以求出a=420/11(分）

  1. 已知夹角求时间

例2: 7点多少分时，时针和分针第一次成30°角，多少分时，时针和分针第二次成30°角？

老规矩，我们还是先在钟面上画出示意图。

图二是时针和分针第1次成30°。此时，分针在时针的后面，还没追上时针。在7点整时，分针是落后时针210°的，而现在还落后30°，说明已经追上了210-30=180°，又已知每分钟分针可以追上5.5°，那180÷5.5=360 /11（分）就是追及时间，也就是说7点360/11分时分针和时针第一次成30°

图三是时针和分针第2次成30°。此时，分针已经跑到了时针的前面，不但追上时针，还超过30°。在7点整时，分针是落后时针210°的，而现还超过时针30°，那此时的路程差就是210+30=240°。已知每分钟分针可以追上5.5°，那240÷5.5=480 /11（分）就是追及时间，也就是说7点480/11分时分针和时针第2次成30°

  1. 时针和分针的“相遇”问题

这里的相遇是加了引号的，并非真正的相遇，那为啥要用相遇一词呢？看完下面的例子您就明白了。

例3: 小王在早上6点到7点之间上学发现，钟面上的数字6刚好在时针和分针的正中央。那么此时是6点多少分？

图四中，红色线条表示6点整时，时针和分针的位置。钟面上的数字6刚好在时针和分针的正中央。这句话的意思就是说∠1=∠2。那我们来研究一下此时分针走了多少度？从图中可以看出∠3就是从6点整到此时刻分钟走过的角度。那时针呢？很明显，从6点整到此时刻时针走了∠1的度数。此题如果按照追及问题来处理，既不知道追及的时间也不知道任何角度的信息，不太好处理。那怎么办呢？通过图四，我们容易得出从6点整到此时刻，时针和分针一共走了多少度？

一共走的度数：∠3+∠1=∠3+∠2=180° 既然是时针和分针一起走了180°，这180°不就相当于相遇问题里的路程和吗？按照相遇问题的公式：

总路程=速度和x相遇时间 相遇时间=总路程÷速度和

180 ÷（6+0.5）=360/13 (分）

例4: 小李在一点多钟时开始跳绳，当他跳完绳时发现，还没到2：30，但此时时针和分针与刚开始跳绳时正好交换了位置，那么小李跳绳花了多少分钟？

图五展示了小李刚开始跳绳时刻时针和分针的位置，题目说跳绳结束时，时针和分针的位置互换，也就是说此时时针到了原来分针的位置，分针到了原来时针的位置。这道题没告诉任何已知角度或者时间，也不太好找参照时刻，找一点整？两点整？都不合适，那怎么办？我们分析一下从开始时刻到结束时刻分针走了多少？如图五所示，分针从当前位置走到现在时针的位置，走过了∠1的度数，而时针呢？时针从当前位置走到分针的位置走过的角度就是∠2，那你看分针和时针一起走过了多少度呢？不刚好就是一整圈360°吗？到这里，相信你已经看出来了，这又是一个“相遇”问题。

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