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有趣的时钟问题——钟面上的追及和“相遇”问题

myzbx 2025-05-10 23:48 3 浏览

有趣的时钟问题-时针和分针的夹角一文中,我们已经学会了如何把时针和分针的运动当成追及问题来处理。今天我们研究三方面的内容:

用追及问题的思路处理时针分针重合问题

用追及问题的思路处理已知夹角求时间的问题

时针和分针的“相遇”问题

  1. 时针和分针的重合问题

例1:从7点开始,7点()分时,分针与时针第一次重合?

如上图一所示,我们画出7点整时刻的示意图,此时分针落后时针7x30=210°,按照追及问题的公式:

追及路程=速度差x追及时间

设经过a分钟后分针追上了时针,那么 (6-0.5) a=210 可以求出a=420/11(分)

  1. 已知夹角求时间

例2: 7点多少分时,时针和分针第一次成30°角,多少分时,时针和分针第二次成30°角?

老规矩,我们还是先在钟面上画出示意图。

图二是时针和分针第1次成30°。此时,分针在时针的后面,还没追上时针。在7点整时,分针是落后时针210°的,而现在还落后30°,说明已经追上了210-30=180°,又已知每分钟分针可以追上5.5°,那180÷5.5=360 /11(分)就是追及时间,也就是说7点360/11分时分针和时针第一次成30°

图三是时针和分针第2次成30°。此时,分针已经跑到了时针的前面,不但追上时针,还超过30°。在7点整时,分针是落后时针210°的,而现还超过时针30°,那此时的路程差就是210+30=240°。已知每分钟分针可以追上5.5°,那240÷5.5=480 /11(分)就是追及时间,也就是说7点480/11分时分针和时针第2次成30°

  1. 时针和分针的“相遇”问题

这里的相遇是加了引号的,并非真正的相遇,那为啥要用相遇一词呢?看完下面的例子您就明白了。

例3: 小王在早上6点到7点之间上学发现,钟面上的数字6刚好在时针和分针的正中央。那么此时是6点多少分?

图四中,红色线条表示6点整时,时针和分针的位置。钟面上的数字6刚好在时针和分针的正中央。这句话的意思就是说∠1=∠2。那我们来研究一下此时分针走了多少度?从图中可以看出∠3就是从6点整到此时刻分钟走过的角度。那时针呢?很明显,从6点整到此时刻时针走了∠1的度数。此题如果按照追及问题来处理,既不知道追及的时间也不知道任何角度的信息,不太好处理。那怎么办呢?通过图四,我们容易得出从6点整到此时刻,时针和分针一共走了多少度?

一共走的度数:∠3+∠1=∠3+∠2=180° 既然是时针和分针一起走了180°,这180°不就相当于相遇问题里的路程和吗?按照相遇问题的公式:

总路程=速度和x相遇时间 相遇时间=总路程÷速度和

180 ÷(6+0.5)=360/13 (分)

例4: 小李在一点多钟时开始跳绳,当他跳完绳时发现,还没到2:30,但此时时针和分针与刚开始跳绳时正好交换了位置,那么小李跳绳花了多少分钟?

图五展示了小李刚开始跳绳时刻时针和分针的位置,题目说跳绳结束时,时针和分针的位置互换,也就是说此时时针到了原来分针的位置,分针到了原来时针的位置。这道题没告诉任何已知角度或者时间,也不太好找参照时刻,找一点整?两点整?都不合适,那怎么办?我们分析一下从开始时刻到结束时刻分针走了多少?如图五所示,分针从当前位置走到现在时针的位置,走过了∠1的度数,而时针呢?时针从当前位置走到分针的位置走过的角度就是∠2,那你看分针和时针一起走过了多少度呢?不刚好就是一整圈360°吗?到这里,相信你已经看出来了,这又是一个“相遇”问题。

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